自古希腊以来，建筑中的一些形状一直是人们最头疼的地方，几乎所有的工匠都认为最难的形状是圆形。 显然，在建筑物的实际工程中，指南针之类的东西不能用于拆卸。但高斯发现如果你想在没有图形工具的情况下画一个圆，你可以构建一个正多边形，而一个正多边形的边数是不同费马素数的乘积。然后你可以只用圆规和尺子构造一个正多边形，边数和2的幂几乎是整个图形下的一个圆。

而这一年是 1796 年，高斯只有 19 岁。 通过对七边形的结构分析，他进一步推进了“模块化操作”。 这大大简化了数论中的运算，同年4月，高斯成为第一个证明二次互反定律的人。二次互易律为求解二次方程模素数提供了条件，使数学家能够在模算术中确定任何二次方程的解。 同时它的出现对现代代数、数论和代数几何中许多机制的发展至关重要。为此高斯还发表了六个证明来完美地证明这个定律，他自己称之为“黄金定理”。
许多几百年前前人推导出来的公式，都是高斯一个人解决的。例如n=3 时的费马多边形数定理、n=5 时费马大定理、笛卡尔符号规则等。高斯年轻时成功，年轻时成名，从平民百姓到王公贵族。 此外他本人不仅在数学上做出了突出贡献，高斯在天文学上也取得了显著成就。经过短短几年的研究，高斯凭借惊人的数学能力，发表了《圆锥截面天体运动的理论太阳》，简化了 18 世纪繁琐的轨道预测过程，他对这项工作的贡献成为 现代天文计算的基石。
  其中描述的高斯引力常数，包括最小二乘法，已被用于所有与数学相关的学科，以最大限度地减少测量误差的影响。高斯在随后的几十年里对土地测量也做出了一些贡献，其中最著名的是“天芥菜”的发明。